Analysis Beispiele

$\int 6^{2 x} \cdot 2 d x$

Schritt 1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $6^{2 x}$ .

$\int 2 \cdot 6^{2 x} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int 6^{2 x} d x$

Schritt 3

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int 6^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Kombiniere $6^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{6^{u}}{2} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 6^{u} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int 6^{u} d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int 6^{u} d u$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int 6^{u} d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int 6^{u} d u$ mit $1$ .

$\int 6^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $6^{u}$ nach $u$ ist $\frac{6^{u}}{\ln (6)}$ .

$\frac{6^{u}}{\ln (6)} + C$

Schritt 8

Schreibe $\frac{6^{u}}{\ln (6)} + C$ als $\frac{1}{\ln (6)} \cdot 6^{u} + C$ um.

$\frac{1}{\ln (6)} \cdot 6^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{\ln (6)} \cdot 6^{2 x} + C$