Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (2 x - 1) (x + 2) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 2 x (x + 2) - 1 (x + 2) d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2) d x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Schritt 1.4

Bewege $x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Schritt 1.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Schritt 1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 2 d x$

Schritt 1.11

Subtrahiere $1 x$ von $4 x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 3 x - 2 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Schritt 10.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Schritt 10.3

Berechne $- 2 x$ bei $1$ und $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (\frac{1}{3} - 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.5

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} + 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.11

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.12

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.13

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.14

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.15

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.15.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.15.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.15.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.15.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.17

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.17.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 + 9}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.17.3

Addiere $4$ und $9$ .

$\frac{13}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 2 \cdot 0$

Schritt 10.4.19

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 0$

Schritt 10.4.20

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{13}{6} - 2$

Schritt 10.4.21

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 10.4.22

Kombiniere $- 2$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Schritt 10.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{13 - 2 \cdot 6}{6}$

Schritt 10.4.24

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.24.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$\frac{13 - 12}{6}$

Schritt 10.4.24.2

Subtrahiere $12$ von $13$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{6}$

Dezimalform:

$0.1\overline{6}$

Schritt 12