Analysis Beispiele

$(x^{2} - 3) e^{- x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$(x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 (x^{2} - 3)$ als $- (x^{2} - 3)$ um.

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x^{2} - - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} e^{- x} - - 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ um.

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$