Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 5 x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{3} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{8 - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{8 - 10 + 7}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12.4

Subtrahiere $10$ von $8$ .

$\sqrt{\frac{- 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12.5

Addiere $- 2$ und $7$ .

$\sqrt{\frac{5}{2^{2} + 5}}$

Schritt 12.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4 + 5}}$

Schritt 12.7

Addiere $4$ und $5$ .

$\sqrt{\frac{5}{9}}$

Schritt 12.8

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{9}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Schritt 12.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.9.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 12.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Dezimalform:

$0.74535599 \dots$