Analysis Beispiele

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 8.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 8.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 8.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 8.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$