Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ und ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ aus ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $i$ und $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $i$ von $i$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Da $| r | < 1$ , konvergiert die Reihe.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $i$ in $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ ein.

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Schritt 4.2.3

Kombinieren.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere $1$ mit $1^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $1$ mit $1^{0}$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Schritt 4.2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $1$ und $0$ .

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache $1^{1}$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

Schritt 4.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 6.5

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.75$