Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sqrt{3 + 4 x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{1}$

Schritt 1.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$ durch $1$ .

$\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\sqrt{0 + 4}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $4$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$