Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $- 3$ , $1$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 16 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 16 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 16 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0 + 0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$16 - 32 + 2$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$- 16 + 2$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $- 16$ und $2$ .

$- 14$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$16 - 32 + 2$

Schritt 1.4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$- 16 + 2$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Addiere $- 16$ und $2$ .

$- 14$

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

${(- 3)}^{4} - 8 {(- 3)}^{2} + 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$81 - 8 {(- 3)}^{2} + 2$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$81 - 8 \cdot 9 + 2$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$81 - 72 + 2$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $72$ von $81$ .

$9 + 2$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $9$ und $2$ .

$11$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{4} - 8 {(1)}^{2} + 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 8 {(1)}^{2} + 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 8 \cdot 1 + 2$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$1 - 8 + 2$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$- 7 + 2$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $- 7$ und $2$ .

$- 5$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 3, 11), (1, - 5)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 3, 11)$

Absolutes Minimum: $(- 2, - 14)$

Schritt 5