Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{2} + 1)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \ln (x^{2} + 1) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x^{2} + 1)$ und $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (x^{2} + 1) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 8

Dividiere $x^{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 8.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 8.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Schritt 8.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Schritt 8.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Schritt 8.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Schritt 12.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$