Analysis Beispiele

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

Schritt 1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x + 9$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x + 9$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 10$ und $9$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x + 9$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

Schritt 2.5.2

Addiere $18$ und $9$ .

$u_{upper} = 27$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ bei $27$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 7.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 7.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

Schritt 7.2.10

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Schritt 7.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 7.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

Schritt 7.2.13

Subtrahiere $3$ von $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

Schritt 7.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $240$ und $4$ .

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Schritt 7.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $240$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

Schritt 7.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.14.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

Schritt 7.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

Schritt 7.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

Schritt 7.2.14.2.4

Dividiere $60$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

Schritt 7.2.15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $60$ .

$\frac{60}{3}$

Schritt 7.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $3$ .

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Schritt 7.2.16.1

Faktorisiere $3$ aus $60$ heraus.

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

Schritt 7.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

Schritt 7.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

Schritt 7.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{1}$

Schritt 7.2.16.2.4

Dividiere $20$ durch $1$ .

$20$

Schritt 8