Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arcsec (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

Schritt 4.2

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Schritt 4.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Schritt 4.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.8.1

Stelle $- 1$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

Schritt 4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

Schritt 4.8.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Schritt 4.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{i \sin (x)}$

Schritt 4.10

Separiere Brüche.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 4.11

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{1}{i} \csc (x)$

Schritt 4.12

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{i}$ mit der Konjugierten von $i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

Schritt 4.13

Multipliziere.

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Schritt 4.13.1

Kombinieren.

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

Schritt 4.13.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.13.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

Schritt 4.13.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

Schritt 4.13.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

Schritt 4.13.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

Schritt 4.13.3.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

Schritt 4.14

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i \csc (x)$

Schritt 4.15

Schreibe $- 1 \cdot i$ als $- i$ um.

$- i \csc (x)$