Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{8 x^{2} + x + 3}{x - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 8 x^{2} + x + 3}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 8 x^{2} + lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{8 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{8 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{8 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot 3^{2} + lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot 3^{2} + 3 + 3}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot 3^{2} + 3 + 3}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{8 \cdot 9 + 3 + 3}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{72 + 3 + 3}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.3

Addiere $72$ und $3$ .

$\frac{75 + 3}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.4

Addiere $75$ und $3$ .

$\frac{78}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{78}{3 - 4}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{78}{- 1}$

Schritt 9.3

Dividiere $78$ durch $- 1$ .

$- 78$