Analysis Beispiele

$\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x = x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} + C$

Schritt 1

Da $u$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $u$ aus dem Integral.

$u \int (2 x^{3} + 2 x) (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$u \int 2 x^{3} x + 2 x \cdot x d x$

Schritt 2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$u \int 2 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot x d x$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u \int 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot x d x$

Schritt 2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 x \cdot x d x$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) d x$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) d x$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u \int 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} d x$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 x^{2} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$u (\int 2 x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x)$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$u (2 \int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 2 x^{2} d x)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 \int x^{2} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$u (\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3}) + C$

Schritt 8.2

Stelle die Terme um.

$u (\frac{2}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}) + C$