Analysis Beispiele

$y = 12 \sin (w t + π)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $12$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $12 \sin (w t + π)$ nach $w$ gleich $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = \sin (w)$ und $g (w) = w t + π$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w t + π$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $w t + π$ .

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w t + π$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

Schritt 1.3.2

Da $t$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $w t$ nach $w$ gleich $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

Schritt 1.3.5

Da $π$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $t$ und $0$ .

$12 \cos (w t + π) t$

Schritt 1.3.6.2

Stelle die Faktoren von $12 \cos (w t + π) t$ um.

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $12 t$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $12 t \cos (w t + π)$ nach $w$ gleich $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ .

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = \cos (w)$ und $g (w) = w t + π$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w t + π$ .

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $w t + π$ .

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w t + π$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 2.3.3

Da $t$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $w t$ nach $w$ gleich $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 2.3.6

Da $π$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

Schritt 2.3.7

Addiere $t$ und $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

Schritt 2.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

Schritt 2.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 12 t^{2}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ nach $w$ gleich $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = \sin (w)$ und $g (w) = w t + π$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w t + π$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 3.3.2

Da $t$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $w t$ nach $w$ gleich $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Schritt 3.3.5

Da $π$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

Schritt 3.3.6

Addiere $t$ und $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

Schritt 3.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $2$ .

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$