Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3^{+}} \frac{4 e^{2 x} + 5}{10 - 2 e^{2 x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3^{+}} 4 e^{2 x} + 5}{lim_{x \to 3^{+}} 10 - 2 e^{2 x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3^{+}} 4 e^{2 x} + lim_{x \to 3^{+}} 5}{lim_{x \to 3^{+}} 10 - 2 e^{2 x}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 3^{+}} e^{2 x} + lim_{x \to 3^{+}} 5}{lim_{x \to 3^{+}} 10 - 2 e^{2 x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 e^{lim_{x \to 3^{+}} 2 x} + lim_{x \to 3^{+}} 5}{lim_{x \to 3^{+}} 10 - 2 e^{2 x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x} + lim_{x \to 3^{+}} 5}{lim_{x \to 3^{+}} 10 - 2 e^{2 x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x} + 5}{lim_{x \to 3^{+}} 10 - 2 e^{2 x}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x} + 5}{lim_{x \to 3^{+}} 10 - lim_{x \to 3^{+}} 2 e^{2 x}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x} + 5}{10 - lim_{x \to 3^{+}} 2 e^{2 x}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x} + 5}{10 - 2 lim_{x \to 3^{+}} e^{2 x}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x} + 5}{10 - 2 e^{lim_{x \to 3^{+}} 2 x}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x} + 5}{10 - 2 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 3} + 5}{10 - 2 e^{2 lim_{x \to 3^{+}} x}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 3} + 5}{10 - 2 e^{2 \cdot 3}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 e^{6} + 5}{10 - 2 e^{2 \cdot 3}}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 e^{6} + 5}{10 - 2 e^{6}}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 e^{6} + 5}{10 - 2 e^{6}}$

Dezimalform:

$- 2.03137323 \dots$