Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2022$ von $\cos^{2022} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2022} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos^{2022} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2022} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2022}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2022}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2022$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 u^{2021} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) (- \sin (x)))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2022$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $- 2022$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2022$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2021$ von $\cos^{2021} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2022 \frac{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2021} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.6.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2022 \frac{1^{2021} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2022 \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.6.3

Mutltipliziere $\sin (0)$ mit $1$ .

$2022 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.6.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 3.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 3.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.6.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Schritt 3.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$2022 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Schritt 3.1.3.6.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2022 \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 3.1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$2022 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2022 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2022 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2022 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{2021} (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.4

Multipliziere $\cos^{2021} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $\cos^{2021} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.4.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{2021 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $2021$ und $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2021}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [u^{2021}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2021$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 u^{2020} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.6

Bringe $2021$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \cdot \sin (x) \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2021$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{2} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.13

Stelle die Terme um.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.15

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.15.1

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.15.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.15.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.15.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.16

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Schritt 3.3.17

Vereinfache.

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Schritt 3.3.17.1

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 3.3.17.2

Stelle die Terme um.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{lim_{x \to 0} - 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{- lim_{x \to 0} 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $2021$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.5

Ziehe den Exponenten $2020$ von $\cos^{2020} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2022 \frac{- 2021 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2020} \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.9

Ziehe den Exponenten $2022$ von $\cos^{2022} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 4.12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 4.13

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 4.14

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 4.15

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1^{2020} \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 2021$ mit $1$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0^{2} + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 2021$ mit $0$ .

$2022 \frac{0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2022 \frac{0 + 1^{2022}}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2022 \frac{0 + 1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.9

Addiere $0$ und $1$ .

$2022 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2022 \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 6.2.5

Addiere $0$ und $2$ .

$2022 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2022$ heraus.

$2 (1011) \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 1011 \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$1011$