Analysis Beispiele

$y = \arctan (\sqrt{x - 9})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 9}$ als ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{1}{1 + x - 9} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 9$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 9$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 9$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 11.3

Bringe ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x - 8}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Schritt 12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 14

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (1 + 0)$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} \cdot 1$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)}$