Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.5.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.5.1.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $- 1 π$ als $- π$ um.

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $π^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $π^{2}$ von $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + π \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π \sec (x)$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3.4.3

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - π^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Schritt 3.8

Da $- π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

Schritt 3.9

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Schritt 13.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Schritt 13.1.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Schritt 13.1.5

Schreibe $- 1 π$ als $- π$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Schritt 13.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

Schritt 13.1.7

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

Schritt 13.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

Schritt 13.1.9

Multipliziere $- π \cdot 0$ .

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Schritt 13.1.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

Schritt 13.1.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

Schritt 13.1.10

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2 π}$