Analysis Beispiele

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}} d x$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)$

$\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)]_{5}^{8}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $arcsec (| \frac{x}{4} |)$ .

$\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}]_{5}^{8}$

Schritt 3.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne $\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}$ bei $8$ und $5$ .

$(\frac{arcsec (| \frac{8}{4} |)}{4}) - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{arcsec (| \frac{2}{1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{arcsec (| 2 |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Schritt 3.3.2.3

$\frac{5}{4}$ ist ungefähr $1.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{5}{4})}{4}$

Schritt 3.3.2.4

Berechne $arcsec (\frac{5}{4})$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 1 \cdot 0.6435011}{4}$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.6435011$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 0.6435011}{4}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $0.6435011$ von $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0.40369644}{4}$

Schritt 3.3.4

Dividiere $0.40369644$ durch $4$ .

$0.10092411$

Schritt 4