Analysis Beispiele

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $3 x t^{2}$ heraus.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $- 3 t^{2}$ heraus.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ heraus.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $t^{2} (x - 1)$ heraus.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Schritt 2.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.2.1.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 3.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.3.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ um.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2.3

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ um.

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

Schritt 4.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $e^{t^{3} + C}$ als $e^{t^{3}} e^{C}$ um.

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

Schritt 5.2

Stelle $e^{t^{3}}$ und $e^{C}$ um.

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

Schritt 5.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$x = C e^{t^{3}} + 1$