Analysis Beispiele

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

Schritt 3

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Schritt 3.1.2

Berechne $\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ .

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Schritt 3.1.2.1

Da $y$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a^{3} y$ nach $a$ gleich $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ .

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Schritt 3.1.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 2 x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2} a^{2}$ nach $a$ gleich $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Schritt 3.1.4

Da $x^{4}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $x^{4}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Addiere $3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ und $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

Schritt 3.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (a)$ nach $a$ ist $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Schritt 4

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $a$ aus $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $a$ aus $3 a^{2} y$ heraus.

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $a$ aus $- 4 x^{2} a$ heraus.

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $a$ aus $a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ heraus.

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.4

Setze $a$ gleich $0$ .

$a = 0$

Schritt 4.5

Setze $3 a y - 4 x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $3 a y - 4 x^{2}$ gleich $0$ .

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $3 a y - 4 x^{2} = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $4 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 a y = 4 x^{2}$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 a y = 4 x^{2}$ durch $3 y$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 a y = 4 x^{2}$ durch $3 y$ .

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Schritt 4.5.2.2.2.2.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ wahr machen.

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Schritt 5

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 6

Werte $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ an jeden $a$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Berechne bei $a = 0$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze $a$ durch $0$ .

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

Schritt 6.1.2.1.4

Multipliziere $- 2 x^{2} \cdot 0$ .

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Schritt 6.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

Schritt 6.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$0 + 0 + x^{4}$

Schritt 6.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + x^{4}$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + x^{4}$

Schritt 6.1.2.2.2

Addiere $0$ und $x^{4}$ .

$x^{4}$

Schritt 6.2

Berechne bei $a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze $a$ durch $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ an.

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $27 y^{3}$ heraus.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ an.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.5.3

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.6.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.8

Multipliziere $- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.8.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.8.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.8.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.8.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.8.4.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.8.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.8.4.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.9

Bringe $- 32$ auf die linke Seite von $x^{6}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.2

Um $- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27 y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.5.1.1

Faktorisiere $32 x^{6}$ aus $64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ heraus.

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Schritt 6.2.2.5.1.1.1

Faktorisiere $32 x^{6}$ aus $64 x^{6}$ heraus.

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.1.1.2

Faktorisiere $32 x^{6}$ aus $- 32 x^{6} \cdot 3$ heraus.

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.1.1.3

Faktorisiere $32 x^{6}$ aus $32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.1.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Schritt 6.3

Liste all Punkte auf.

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

Schritt 7