Analysis Beispiele

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x + 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

Schritt 2.1.1.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

Schritt 2.1.1.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (1) + 4 x (x)$ heraus.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Schritt 2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

Schritt 2.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Schritt 2.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $4 (1 + x)$ .

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 2.1.6.2

Dividiere $(A) \cdot (4)$ durch $1$ .

$1 = (A) \cdot (4)$

Schritt 2.1.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = 4 A$

Schritt 2.2

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 A = 1$ um.

$4 A = 1$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $5$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

Schritt 5

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 5.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$