Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 7$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 3 x^{3} + lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x - lim_{x \to - 1} 7$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 3 x^{3} + lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x - lim_{x \to - 1} 7$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x - lim_{x \to - 1} 7$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x - lim_{x \to - 1} 7$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 2 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x - lim_{x \to - 1} 7$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x - lim_{x \to - 1} 7$

Schritt 7

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 7$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

${(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 7$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

${(- 1)}^{4} - 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 7$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 7$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 7$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 1 \cdot 7$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 1 \cdot 7$

Schritt 10.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 1 \cdot 7$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$1 + 3 + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 1 \cdot 7$

Schritt 10.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 3 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot - 1 - 1 \cdot 7$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + 3 + 2 - 5 \cdot - 1 - 1 \cdot 7$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$1 + 3 + 2 + 5 - 1 \cdot 7$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$1 + 3 + 2 + 5 - 7$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $3$ .

$4 + 2 + 5 - 7$

Schritt 10.3

Addiere $4$ und $2$ .

$6 + 5 - 7$

Schritt 10.4

Addiere $6$ und $5$ .

$11 - 7$

Schritt 10.5

Subtrahiere $7$ von $11$ .

$4$