Analysis Beispiele

$\int (\sqrt{x} \sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \sqrt{x} \sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int {\sqrt{x}}^{2} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{1} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

$\int x + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x^{- 1} + C$