Analysis Beispiele

$\int x^{2} (5^{x^{3}} - 3^{2 x^{3}}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int (5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int 5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int 5^{u_{1}} d u_{1} + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4

Das Integral von $5^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 7

Kombiniere $3^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int \frac{3^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - (\frac{1}{2} \int 3^{u_{2}} d u_{2}))$

Schritt 9

Das Integral von $3^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \frac{1}{2} (\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)} + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 u_{1}}}{2 \ln (3)}) + C$

Schritt 11.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

Schritt 12.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

Schritt 12.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)})$ .

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{3 (2 \ln (3))} + C$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $5^{x^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3 \ln (5)} \cdot 5^{x^{3}} - \frac{1}{6 \ln (3)} \cdot 3^{2 x^{3}} + C$