Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$ als ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 7.3

Bringe ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + 0)$

Schritt 13

Addiere $3 x^{2} + 2 x + 1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$ um.

$(3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $3 x^{2} + 2 x + 1$ mit $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$