Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 12} \frac{8 x^{3} - 16 x^{2} - 64 x}{x^{2} + 2 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 12$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 12} 8 x^{3} - 16 x^{2} - 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 12$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 12} 8 x^{3} - lim_{x \to - 12} 16 x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to - 12} x^{3} - lim_{x \to - 12} 16 x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - lim_{x \to - 12} 16 x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 lim_{x \to - 12} x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $64$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 12$ annähert.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + lim_{x \to - 12} 2 x}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + lim_{x \to - 12} 2 x}$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 12$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 12$ für $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 12$ für $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 12$ für $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Schritt 11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 12$ für $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Schritt 11.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 12$ für $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12$ und ${(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12$ .

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $- 12$ aus $8 {(- 12)}^{3}$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2}) - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Schritt 12.1.2

Faktorisiere $- 12$ aus $- 16 {(- 12)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2}) - 12 (- 16 \cdot - 12) - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Schritt 12.1.3

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 (8 {(- 12)}^{2}) - 12 (- 16 \cdot - 12)$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12) - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Schritt 12.1.4

Faktorisiere $- 12$ aus $- 64 \cdot - 12$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12) - 12 \cdot - 64}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Schritt 12.1.5

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12) - 12 \cdot - 64$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Schritt 12.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.6.1

Faktorisiere $- 12$ aus ${(- 12)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot - 12 + 2 \cdot - 12}$

Schritt 12.1.6.2

Faktorisiere $- 12$ aus $2 \cdot - 12$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot - 12 - 12 \cdot 2}$

Schritt 12.1.6.3

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 \cdot - 12 - 12 \cdot 2$ heraus.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot (- 12 + 2)}$

Schritt 12.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot (- 12 + 2)}$

Schritt 12.1.6.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64}{- 12 + 2}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64$ und $- 12 + 2$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 {(- 12)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2}) - 16 \cdot - 12 - 64}{- 12 + 2}$

Schritt 12.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 16 \cdot - 12$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2}) + 2 (- 8 \cdot - 12) - 64}{- 12 + 2}$

Schritt 12.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 {(- 12)}^{2}) + 2 (- 8 \cdot - 12)$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12) - 64}{- 12 + 2}$

Schritt 12.2.4

Faktorisiere $2$ aus $- 64$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12) + 2 \cdot - 32}{- 12 + 2}$

Schritt 12.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12) + 2 (- 32)$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{- 12 + 2}$

Schritt 12.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot - 6 + 2}$

Schritt 12.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot - 6 + 2 (1)}$

Schritt 12.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 6 + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot (- 6 + 1)}$

Schritt 12.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot (- 6 + 1)}$

Schritt 12.2.6.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32}{- 6 + 1}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$\frac{4 \cdot 144 - 8 \cdot - 12 - 32}{- 6 + 1}$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $144$ .

$\frac{576 - 8 \cdot - 12 - 32}{- 6 + 1}$

Schritt 12.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 12$ .

$\frac{576 + 96 - 32}{- 6 + 1}$

Schritt 12.3.4

Addiere $576$ und $96$ .

$\frac{672 - 32}{- 6 + 1}$

Schritt 12.3.5

Subtrahiere $32$ von $672$ .

$\frac{640}{- 6 + 1}$

Schritt 12.4

Addiere $- 6$ und $1$ .

$\frac{640}{- 5}$

Schritt 12.5

Dividiere $640$ durch $- 5$ .

$- 128$