Analysis Beispiele

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4.3

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ und $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 4.5

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

Schritt 4.6

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

Schritt 4.6.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Schritt 4.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Schritt 4.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

Schritt 4.6.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $d$ .

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$