Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{5} x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6

Kombiniere $\frac{- 12}{5}$ und $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- \frac{12}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{12 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.6

Kombiniere $\frac{- 60}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $5$ .

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Schritt 1.2.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 60 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.7.2.4

Dividiere $- 12 x^{4}$ durch $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12 u$ aus $- 12 u^{2} + 60 u$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $12 u$ aus $- 12 u^{2}$ heraus.

$12 u (- u) + 60 u = 0$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $12 u$ aus $60 u$ heraus.

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Faktorisiere $12 u$ aus $12 u (- u) + 12 u (5)$ heraus.

$12 u (- u + 5) = 0$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $- x^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $- x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$- x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- x^{2} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 5$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Schritt 2.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Multipliziere $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{2}{5}) + 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{5}$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $\sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{6}$ als $5^{3}$ um.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5^{3}$ heraus.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{4}$ als $5^{2}$ um.

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Schritt 3.3.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Schritt 3.3.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Schritt 3.3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.3.2.1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Schritt 3.3.2.1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Schritt 3.3.2.1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Schritt 3.3.2.1.5.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6

Multipliziere $5$ mit $5^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $5^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.6.1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Schritt 3.3.2.1.7

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 125$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 50$ und $125$ .

$f (\sqrt{5}) = 75$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $75$ .

$75$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(\sqrt{5}, 75)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\sqrt{5}, 75)$

Schritt 3.5

Ersetze $- \sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5}$ an.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{5}}^{6}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{6}$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{6}$ mit $- 1$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6 + 1} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Addiere $6$ und $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{7} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{6}$ als $5^{3}$ um.

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Schritt 3.5.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.5.2

Faktorisiere $5$ aus $5^{3}$ heraus.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.8

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5}$ an.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4})$

Schritt 3.5.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 (1 {\sqrt{5}}^{4})$

Schritt 3.5.2.1.10

Mutltipliziere ${\sqrt{5}}^{4}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {\sqrt{5}}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.11

Schreibe ${\sqrt{5}}^{4}$ als $5^{2}$ um.

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Schritt 3.5.2.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Schritt 3.5.2.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Schritt 3.5.2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.11.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5.2.1.11.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1.11.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Schritt 3.5.2.1.11.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Schritt 3.5.2.1.11.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Schritt 3.5.2.1.11.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Schritt 3.5.2.1.12

Multipliziere $5$ mit $5^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1.12.1

Mutltipliziere $5$ mit $5^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.12.1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Schritt 3.5.2.1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Schritt 3.5.2.1.12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Schritt 3.5.2.1.13

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 125$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $- 50$ und $125$ .

$f (- \sqrt{5}) = 75$

Schritt 3.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $75$ .

$75$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(- \sqrt{5}, 75)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \sqrt{5}, 75)$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\sqrt{5}, 75), (- \sqrt{5}, 75)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{5})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 12 {(- 2.33606797)}^{4} + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.33606797$ mit $4$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $29.78118022$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $60$ mit $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 357.37416272$ und $327.43281572$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 29.94134699$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Schritt 5.3

Bei $- 2.33606797$ , die zweite Ableitung ist $- 29.94134699$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \sqrt{5})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{5})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \sqrt{5}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.11803398$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 12 {(- 1.11803398)}^{4} + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.11803398$ mit $4$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1.5625$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1.11803398$ mit $2$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $60$ mit $1.25$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 75$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 18.75$ und $75$ .

$f'' (- 1.11803398) = 56.25$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $56.25$ .

$56.25$

Schritt 6.3

Bei $- 1.11803398$ ist die zweite Ableitung $56.25$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \sqrt{5}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \sqrt{5}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{5})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.11803398$ .

$f'' (1.11803398) = - 12 {(1.11803398)}^{4} + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.11803398$ mit $4$ .

$f'' (1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1.5625$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $1.11803398$ mit $2$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $60$ mit $1.25$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 75$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 18.75$ und $75$ .

$f'' (1.11803398) = 56.25$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $56.25$ .

$56.25$

Schritt 7.3

Bei $1.11803398$ ist die zweite Ableitung $56.25$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \sqrt{5})$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \sqrt{5})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{5}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = - 12 {(2.33606797)}^{4} + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.33606797$ mit $4$ .

$f'' (2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $29.78118022$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $60$ mit $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 357.37416272$ und $327.43281572$ .

$f'' (2.33606797) = - 29.94134699$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Schritt 8.3

Bei $2.33606797$ , die zweite Ableitung ist $- 29.94134699$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\sqrt{5}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\sqrt{5}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$ .

$(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$

Schritt 10