Analysis Beispiele

$\frac{x}{1 + x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{1 + x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4

Stelle $1$ und $x$ um.

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 5

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 9

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 9.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$x - \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$x - \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ .

$F (x) =$ $x - \ln (| x + 1 |) + C$