Analysis Beispiele

$\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Schritt 4.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Schritt 4.2.6.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$