Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6} x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{6}{6}$ und $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) - 60 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $- 60 x^{2}$ heraus.

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ heraus.

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $5 x^{2}$ aus $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12)$ heraus.

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $4$ ist.

$- 2, 6$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 6$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $2$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $32$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 {(2)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 \cdot 16$

Schritt 3.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $16$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 80$

Schritt 3.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $32$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 80$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{32}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 80$

Schritt 3.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 80$

Schritt 3.3.2.2.4

Schreibe $- 80$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1}$

Schritt 3.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 80}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 80}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{32 + 32 \cdot 3 - 80 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 80 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 80$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 240}{3}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.5.1

Addiere $32$ und $96$ .

$f (2) = \frac{128 - 240}{3}$

Schritt 3.3.2.5.2

Subtrahiere $240$ von $128$ .

$f (2) = \frac{- 112}{3}$

Schritt 3.3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (2) = - \frac{112}{3}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{112}{3}$ .

$- \frac{112}{3}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(2, - \frac{112}{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, - \frac{112}{3})$

Schritt 3.5

Ersetze $- 6$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot 46656 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $46656$ heraus.

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 (7776)) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 6) = 7776 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.3

Potenziere $- 6$ mit $5$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 {(- 6)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 \cdot 1296$

Schritt 3.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1296$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 6480$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.5.2.2.1

Subtrahiere $7776$ von $7776$ .

$f (- 6) = 0 - 6480$

Schritt 3.5.2.2.2

Subtrahiere $6480$ von $0$ .

$f (- 6) = - 6480$

Schritt 3.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6480$ .

$- 6480$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 6$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(- 6, - 6480)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 6, - 6480)$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (2, - \frac{112}{3}), (- 6, - 6480)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 5 {(- 6.1)}^{4} + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6.1$ mit $4$ .

$f'' (- 6.1) = 5 \cdot 1384.5841 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1384.5841$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 6.1$ mit $3$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 \cdot - 226.981 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $- 6.1$ mit $2$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 \cdot 37.21$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $- 60$ mit $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 2232.6$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $4539.62$ von $6922.9205$ .

$f'' (- 6.1) = 2383.3005 - 2232.6$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $2232.6$ von $2383.3005$ .

$f'' (- 6.1) = 150.7005$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $150.7005$ .

$150.7005$

Schritt 5.3

Bei $- 6.1$ ist die zweite Ableitung $150.7005$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 6)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 6)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 6, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (- 3) = 5 \cdot 81 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $81$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 \cdot - 27 - 60 {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $- 27$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 \cdot 9$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 60$ mit $9$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 540$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $540$ von $405$ .

$f'' (- 3) = - 135 - 540$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $540$ von $- 135$ .

$f'' (- 3) = - 675$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 675$ .

$- 675$

Schritt 6.3

Bei $- 3$ , die zweite Ableitung ist $- 675$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 6, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 6, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = 5 {(1)}^{4} + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = 5 \cdot 1 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = 5 + 20 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $- 60$ mit $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $5$ und $20$ .

$f'' (1) = 25 - 60$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $60$ von $25$ .

$f'' (1) = - 35$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 35$ .

$- 35$

Schritt 7.3

Bei $1$ , die zweite Ableitung ist $- 35$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 2)$

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 5 {(2.1)}^{4} + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.1$ mit $4$ .

$f'' (2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $19.4481$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2.1$ mit $3$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 \cdot 9.261 - 60 {(2.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $9.261$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 {(2.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $2.1$ mit $2$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 \cdot 4.41$

Schritt 8.2.1.6

Mutltipliziere $- 60$ mit $4.41$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 264.6$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $97.2405$ und $185.22$ .

$f'' (2.1) = 282.4605 - 264.6$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $264.6$ von $282.4605$ .

$f'' (2.1) = 17.8605$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $17.8605$ .

$17.8605$

Schritt 8.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $17.8605$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$ .

$(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$

Schritt 10