Analysis Beispiele

$lim_{x \to \sqrt{2}} (2 x^{2} + 1) (7 x^{2} + 13)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{2}$ annähert.

$lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{2}$ annähert.

$(lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(2 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\sqrt{2}$ annähert.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{2}$ annähert.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Schritt 7

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $13$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\sqrt{2}$ annähert.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\sqrt{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\sqrt{2}$ für $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\sqrt{2}$ für $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 \cdot 2^{1} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$(2 \cdot 2 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.2

Addiere $4$ und $1$ .

$5 \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Schritt 11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \cdot (7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13)$

Schritt 11.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13)$

Schritt 11.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Schritt 11.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Schritt 11.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{1} + 13)$

Schritt 11.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$5 \cdot (7 \cdot 2 + 13)$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$5 \cdot (14 + 13)$

Schritt 11.4

Addiere $14$ und $13$ .

$5 \cdot 27$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$135$