Analysis Beispiele

$x^{2} e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 11

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 11.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 13

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Schritt 14

Schreibe $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ als $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ um.

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$