Analysis Beispiele

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 t + 2$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2 (1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (t) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t + 1}} d t]$

Schritt 3.1.2

Potenziere $\sqrt{t + 1}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} \sqrt{t + 1}} d t]$

Schritt 3.1.3

Potenziere $\sqrt{t + 1}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} {\sqrt{t + 1}}^{1}} d t]$

Schritt 3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1 + 1}} d t]$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{2}} d t]$

Schritt 3.1.6

Schreibe ${\sqrt{t + 1}}^{2}$ als $t + 1$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + 1}$ als ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{({(t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Schritt 3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Schritt 3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Schritt 3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Schritt 3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{1}} d t]$

Schritt 3.1.6.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

Schritt 3.2.2

Dividiere $2 \sqrt{t + 1}$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t]$

Schritt 4

Nehme die Ableitung von $\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1] (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(2 x + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Schritt 5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 x + 0) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Schritt 5.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 2})$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x \sqrt{x^{2} + 2}$