Analysis Beispiele

$\int 5 x (2 x + 5) (x - 3) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int (x (2 x + 5)) (x - 3) d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u + 3) (2 u + 2 \cdot 3 + 5) u d u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3 + 5) + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Schritt 3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5) u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Schritt 3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3)) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Schritt 3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3)) u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.11

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.12

Stelle $u$ und $2$ um.

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.13

Bewege $u$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.14

Stelle $u$ und $5$ um.

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 \cdot u \cdot u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.15

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.16

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u^{1}) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int 2 u^{1 + 1} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.18

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int 2 u^{2} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.19

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 (u^{2} u^{1}) + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int 2 u^{2 + 1} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.21

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.22

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.23

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.24

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u^{1}) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{1 + 1} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.26

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.27

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.28

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.29

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.30

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.31

Addiere $6 u^{2}$ und $5 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.32

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.33

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.34

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.35

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.36

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.37

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.38

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 3 \cdot 5 u d u$

Schritt 3.39

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 15 u d u$

Schritt 3.40

Addiere $18 u$ und $15 u$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 33 u d u$

Schritt 3.41

Addiere $11 u^{2}$ und $6 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 (\int 2 u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$5 (2 \int u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Schritt 7

Da $17$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $17$ aus dem Integral.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 \int u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u)$

Schritt 9

Da $33$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $33$ aus dem Integral.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$5 (\frac{u^{4}}{2} + \frac{17 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$5 (\frac{{(x - 3)}^{4}}{2} + \frac{17 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2}) + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$5 (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{4} + \frac{17}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$