Analysis Beispiele

$x + \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt{x + 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

Schritt 1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Schritt 1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

Schritt 1.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

Schritt 1.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

Schritt 1.2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Schritt 1.2.13

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.2.14

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Schritt 2.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.14

Addiere $1$ und $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

Schritt 2.2.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.2.17

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.18

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.19

Bringe ${(x + 1)}^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

Schritt 2.2.20

Multipliziere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x + 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.20.1

Bewege $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 2.2.20.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.20.2.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 2.2.20.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.20.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.20.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Schritt 2.2.20.5

Addiere $2$ und $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.2.21

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.2.22

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$