Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $0$ und $1$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 1 |})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 1 |})$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- \ln (\frac{0}{1})$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \ln (0)$

Schritt 7.4

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \ln (0)$

Schritt 8

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert