Analysis Beispiele

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) + 2 x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) d x + \int 2 x d x$

Schritt 2

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus.

$\int \sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Schritt 3

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \sin^{2} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Schritt 5

Multipliziere $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Schritt 6.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Schritt 6.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Schritt 6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u + \int 2 x d x$

Schritt 6.4

Schreibe $- 1 u^{4}$ als $- u^{4}$ um.

$\int u^{2} - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u + \int 2 x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int 2 x d x$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 \int x d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 13.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 1 x^{2} + C$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + x^{2} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + x^{2} + C$