Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $3^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3^{- x}$ mit $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

Schritt 4

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 3^{u} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int 3^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Schritt 7

Schreibe $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ als $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$