Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 3 x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 7

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$- \frac{- 1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Schritt 9.2.4

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 10 \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Schritt 9.2.5

Kombiniere $10$ und $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{10 (3 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{30 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Schritt 9.2.7

Faktorisiere $5$ aus $30 x^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Schritt 9.2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.8.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

Schritt 9.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

Schritt 9.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

Schritt 9.2.8.4

Dividiere $6 x^{\frac{5}{3}}$ durch $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$