Analysis Beispiele

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Schritt 1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{- 2 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.3.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Schritt 2

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Schritt 3.2

Addiere $- 6 e^{- 2 x}$ und $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Schritt 4

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = 3 e^{- 2 x}$ ist ein Lösung von $y' + 2 y = 0$