Analysis Beispiele

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Multipliziere $(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.7

Stelle $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $3 x^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$