Analysis Beispiele

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Schritt 2.4

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Schritt 2.9.3

Kombiniere $\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ und $y$ .

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

Schritt 2.9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$