Analysis Beispiele

$\int 5 x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x^{3} - 6$ . Dann ist $d u = 6 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x^{3} - 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 6]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$6 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{\sec^{2} (u)}{6} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{6} \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $5$ .

$\frac{5}{6} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\frac{5}{6} (\tan (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{5}{6} \tan (u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{5}{6} \tan (2 x^{3} - 6) + C$