Analysis Beispiele

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Schritt 3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 5.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $\csc^{2} (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 8

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$