Analysis Beispiele

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Schritt 1

Sei $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Dann ist $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 1.1.4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 1.1.4.3.3

Stelle die Faktoren von $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ um.

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 2

Kombiniere ${u_{3}}^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{4}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$