Analysis Beispiele

$y' = \frac{3 y}{x}$ , $y = x^{3}$

Schritt 1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 x^{2}$

Schritt 2

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$3 x^{2} = \frac{3 x^{3}}{x}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$3 x^{2} = \frac{x (3 x^{2})}{x}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} = \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$3 x^{2} = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} = \frac{3 x^{2}}{1}$

Schritt 3.2.5

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Schritt 4

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = x^{3}$ ist ein Lösung von $y' = \frac{3 y}{x}$