Analysis Beispiele

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1.1

Um $2 x y y'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.3

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 2.4.1.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.4

Um $y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.6

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.6.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $2 y^{3} x y'$ heraus.

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.2.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ heraus.

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ durch $x (2 y^{3} - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ durch $x (2 y^{3} - x)$ .

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{3} - x$ .

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

Schritt 5.2.3.3.2

Um $- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.2.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (2 y^{3} - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

Schritt 5.2.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 y^{3} - x) x$ um.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y^{4} - 2 y x$ heraus.

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Schritt 5.2.3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3}) - (2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.3.9.1

Schreibe $- (y^{3} + 2 x)$ als $- 1 (y^{3} + 2 x)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 5.2.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$