Analysis Beispiele

$3^{x} + 2021$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3^{x} + 2021$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $2021$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2021$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3^{x} \ln (3) + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $3^{x} \ln (3)$ und $0$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\ln (3)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{x} \ln (3)$ nach $x$ gleich $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

Schritt 2.3

Potenziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

Schritt 2.4

Potenziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\ln^{2} (3)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{x} \ln^{2} (3)$ nach $x$ gleich $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

Schritt 3.3

Multipliziere $\ln^{2} (3)$ mit $\ln (3)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $\ln (3)$ .

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $\ln^{2} (3)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ um.

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$